Måling af positroniums levetid

Af Mikkel D. Lund, Heine D. Thomsen, Ulrik I. Uggerhøj og Helge Knudsen.

Positronium (Ps) er et eksotisk atom, bestående af en elektron og dens antipartikel - en positron. Atomet består af en partikel og en antipartikel, og det danner dermed bro mellem partiklernes og antipartiklernes verden. Positronium har ikke nogen atomkerne, og hvis man betragter brint som atom nummer et og antibrint (som består af en antiproton og en positron) som atom nummer minus et, så må positronium være atom nummer nul.
Hvis en partikel og en antipartikel "støder ind i hinanden", vil begge partikler blive udslette og blive til stråling. Man siger at partiklerne annihilerer. Positronium kan dannes i to varianter, der henholdsvis eksisterer i 0,125 nanosekunder og 142 nanosekunder. Forskellen på de to varianter af positronium, karakteriseres af spinnet af de to partikler. Partiklerne i den kortlivede variant har antiparallelt spin, hvorimod den langlivede variant har parallelt spin.
Denne side giver en uddybende forklaring af måleteknikken bag bestemmelsen af positroniums levetid, som er beskrevet i artiklen "Atom Nummer Nul" (Aktuel Naturvidenskab nr. 2-2009).

Estimator for levetiden

Hvis man skal beskrive en ret linje, kan man gøre det ved at bestemme to eller flere punkter på linjen, og ud fra disse punkter kan man finde linjens ligning
    f(x) = ax + b.
Her vil konstanten a beskrive linjens hældning - altså hvor stejl linjen er. På sammen måde er krumningen af en eksponentialfunktion bestemt af tidskonstanten i ligningen for eksponentialfunktionen
    e-t/τ.
Tidskonstanten τ kaldes også for levetiden. Levetiden af positronium er bestemt af kvantemekanikken, og derfor kan man ikke sige, at alle positroniumatomer lever præcist 142 nanosekunder. Nogle vil leve længere og nogle vil leve kortere. Hvis man har en stor samling positronium og tegner et histogram, der viser hvor længe hvert enkelt atom har levet, vil man få en eksponentielt aftagende fordeling. Eksponentielle henfald kender man eksempelvis også fra henfald af radioaktive kerner eller fra raterne på visse kemiske reaktioner. Hvis man tegner en eksponentiel kurve igennem punkterne i histogrammet, kan man finde levetiden ud fra formlen for eksponentialfunktionen.
I praksis bruger men en computer til at finde den eksponentialfunktion, der passer bedst til datapunkterne. Man siger også at computeren fitter en funktion til datapunkterne. De fleste computerprogrammer anvender fitte-metoder, der bygger på de mindste kvadraters metode. Her prøver computeren at tegne den kurve, hvor kvadratet på de lodrette afstande mellem
kurven og datapunkterne er mindst mulig. Denne metode kan dog være fejlbehæftet - især hvis man har meget få datapunkter. Her bør man i stedet anvende maximum likelihood-metoden, som udvælger den kurve, som et sæt parametre har størst sandsynlighed for at beskrive. I tilfældet med levetiden af positronium, vil maximum likelihood-metoden altså give den levetid, der med størst sandsynlighed beskriver den fundne kurve.
Du kan læse mere om fitte-procedurer på http://da.wikipedia.org/wiki/Regressionsanalyse. Du kan læse mere om maximum likelihood-metoden på http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood (på engelsk).

Eksperiment

Ved Institut for Fysik og Astronomi, Århus Universitet, findes der en positronkilde, som kan producere positroner og gemme dem i en fælde. Positronerne kan herfra skydes ind i et materiale, hvor de kan opsamle en elektron og danne positronium. Til dette eksperiment er materialet en detektor, som derfor både fungerer som detektor og som positronium-danner. Signalet fra detektoren bruges til at starte et tidstagningsapparat, som det er illustreret i figur 1.a.

Figur 1.a: Positronen flyver ind i detektoren og starter stopuret. Samtidig kan positronen danne positronium.
Figur 1.b: Positroniumatomet henfalder og udsender stråling, som opfanges af en anden detektor, som stopper tidstagningen.

Hvis der dannes positronium, vil det henfalde og annihilierer efter nogen tid. Når positronium annihilerer udsendes al energien som stråling, og denne stråling opfanges i en anden detektor, som stopper tidstagningen. Dette er illustreret i figur 1.b. Signalet fra tidstagningsapparatet kan nu vises i et histogram, som det der ses i figur 2.

Figur 2: Et histogram over optagede levetider. Den tydelige top i venstre side af
histogrammet stammer fra positroner, der annihilere med det samme, når de rammer
detektoren. Den flade del i højre side af histogrammet er baggrundsstøj. Signalet fra
positroniums levetid ligger imellem toppen og baggrunden.

Positronen vil i langt de fleste tilfælde møde en elektron i detektoren og annihilere med det samme. Det giver et kraftigt signal i venstre side af histogrammet, da start- og stopsignalet kommer samtidig. Dette signal kalder vi prompt-toppen. Nogle gange annihilerer positronen dog ikke med det samme, fordi der dannes positronium. Kvantemekanikken fortæller os, at nogle gange lever positronium kort tid, og andre gange lever det lidt længere. Det vil altså sige, at når man kigger på figur 2, så vil nogle af positroniumatomerne annihilerer tæt på prompt-toppen imens andre annihilierer lidt længere væk. Dette ses som en "hale" på højre side af prompt-toppen, og denne hale har netop form som et eksponentielt henfald. Når man kommer tilstrækkelig langt til højre i histogrammet, bliver datapunkterne stort set konstante, og det må betyde, at vi måler baggrundsstøjen i dette område.

At finde en nål i en høstak

Vi ved nu, at positroniums levetid er gemt imellem prompt-toppen og baggrundsstøjen, men hvordan kan vi vide, hvilken del af histogrammet, der giver den rigtige levetid? Hvis vi fitter eksponentialfunktionen til lidt for meget af prompt-toppen, bliver levetiden for kort, og hvis vi fitter til for meget af baggrunden, bliver levetiden for lang. Det kan virke lidt, som at skulle finde en nål i en høstak, men heldigvis er der hjælp i form af moderne regnekraft.
For at være sikker på, at vi finder den rigtige levetid, prøver vi at fitte et eksponentielt henfald til flere forskellige intervaller. Vi beder computeren fitte til et interval, der starter i prompt-toppen (f.eks. kanal 200 i figur 2) og går hele vejen ud til højre. Et sådant fit kunne se ud som det, der er vist i figur 3.a, hvor de sorte prikker er datapunkterne, og den blå kurve er fittet. Dernæst beder vi computeren fitte til et interval, der starte én kanal senere (f.eks. kanal 201), og sådan bliver vi ved, indtil vi er langt ude i baggrunden (f.eks. kanal 1000). Vi kan nu vise levetiden som funktion af intervalstørrelsen, og nu forventer vi, at levetiden bliver for kort, ved et stort interval (fordi vi er inde i promt-toppen) og for lang ved små intervaller (fordi vi er ude i baggrunden). Imellem disse to ekstremer burde der være et plateau, hvor levetiden er konstant, og denne levetid må være levetiden af positronium. Levetiden som funktion af intervalstørrelsen er vist i figur 3.b.

Figur 3.a: Den blå kurve er fittet til de sorte datapunkter. Når vi skal finde positroniums levetid, må vi starte med at fitte til hele intervallet, og gradvist gøre intervallet mindre, indtil vi finder der korrekte levetid.
Figur 3.b: Levetiden som funktion af intervalstørrelsen. Når intervallet er for stort, bliver levetiden for kort, fordi noget af prompt-toppen er med i levetiden. Når intervallet bliver for småt, bliver levetiden for lang, fordi noget af baggrunden er med i levetiden. Der er et plateau imellem disse to ekstremer, som må være positroniums levetid.

Når man fitter en funktion til et datasæt, får man værdierne af nogle parametre, men man får også et mål for fejlen på den pågældende parameter - altså hvor godt parameteren passer til datasættet. Det mest korrekte mål for levetiden, må være der, hvor fejlen er mindst. Vi kan nu tage alle levetiderne fra figur 3.b og tegne dem ind i et histogram. Samtidig vægter vi værdierne med fejlene på levetiden. Det vil altså sige, at hvis vi finder den samme levetid mange gange og at fejlen på denne levetid er lille, får vi en høj søjle i histogrammet. Hvis vi til gengæld måler mange ens levetider, men som har store fejlværdier, bliver søjlen i histogrammet mindre. Figur 4 viser levetiden af positronium.

Figur 4: Histogram over levetider. Levetiderne er vægtet med kvaliteten af fittet - dvs. dårlige fit har lavere værdi end gode fit. Den sorte kurve viser en normalfordeling, som er fittet til histogrammet.

Relativ tid, absolut tid og begrænsninger

Lad os for et øjeblik vende tilbage til figur 2. Man kan se, at prompt-toppen ikke ligger i kanal nul, og det kan måske virke lidt underligt? Forklaringen er, at signalet fra de to detektorer ikke nødvendigvis skal rejse lige langt igennem elektronikken (vi forsinker faktisk helt bevidst det ene signal en smule), men det er lige meget, for vi er kun interesseret i at måle en tidsforskel, og ikke en absolut tid. Man kan sammenligne det med at måle en afstand i en bil. Man kan enten nulstille triptælleren ved turens start og så se hvad den står på, når man ankommer til destinationen, eller man kan aflæse totaltælleren ved både afrejse og ankomst og trække de to tal fra hinanden. Det er altså ikke vigtigt, om triptælleren stod på nul, da turen startede, hvis blot man kender differensen, når turen er slut.

Vi startede med at nævne, at positronium også dannes i en kortlivet udgave. Denne udgave lever kun 125 pikosekunder (0,125 nanosekunder), og det er alt for kort tid, til at vi kan måle det med vores udstyr. Vi har ikke mulighed for at se forskel på det kortlivede positronium og på prompt-toppen i figur 2. Men der er måske alligevel håb for at måle den kortlivede udgaves levetid. Hvis man producerer positronium i et kraftigt magnetfelt, bliver levetiderne ændrede af magnetfeltet (endnu en effekt af kvantemekanikken). Ved at bestemme levetiden ved forskellige magnetfeltsstyrker, får vi en indirekte måling af levetiden af det kortlivede positronium.